Как определить площадь: подробное руководство [Love Soft]

Love Soft» представляет статью о том, как определить площадь. В статье будут представлены различные методы измерения площади, а также примеры использования этих методов в реальных ситуациях. Если вы хотите узнать, как определить площадь помещения или участка земли, то обязательно читайте эту статью!

Содержание

Площадь. Определение

Площадь — величина, показывающая размер фигуры.

Первоначально вычисление площади фигуры или поверхности называлось квадратурой.

Фигура, имеющая площадь, называется квадрируемой. Существуют и неквадрируемые плоские фигуры.

Аксиоматическое определение

Площадь — функция, которая обладает следующими свойствами:

• Положительность. Площадь есть неотрицательное число.

• Аддитивность. Площадь фигуры равна сумме площадей составляющих её фигур без общих внутренних точек.

• Инвариантность. Площади равных фигур равны.

• Нормированность. Площадь единичного квадрата равна 1.

Из данного определения площади следует её монотонность, то есть площадь части фигуры меньше площади всей фигуры.

Первоначально определение площади было сформулировано для многоугольников, затем оно было расширено на квадрируемые фигуры.

Квадрируемой называется такая фигура, которую можно вписать в многоугольник и в которую можно вписать многоугольник, причём площади обоих многоугольников отличаются на произвольно малую величину. Такие фигуры называются также измеримыми по Жордану.

Для фигур на плоскости, не состоящих из целого количества единичных квадратов, площадь определяется с помощью предельного перехода; при этом требуется, чтобы как фигура, так и её граница были кусочно-гладкими.

Существуют неквадрируемые плоские фигуры. Предложенное выше аксиоматическое определение площади в случае плоских фигур обычно дополняют конструктивным, при котором с помощью палетки (разбиение плоскости на равные квадраты) осуществляется собственно вычисление площади. При этом для более точных вычислений на последующих шагах используют палетки, у которых длина стороны квадрата в десять раз меньше длины у предыдущей палетки.

Площадь квадрируемой плоской фигуры существует и единственна. Понятие площади, распространённое на более общие множества, привело к определению множеств, измеримых по Лебегу, которыми занимается теория меры. В дальнейшем возникают более общие классы, для которых свойства площади не гарантируют её единственность.

Под площадью в обобщённом смысле понимают численную характеристику k-мерной поверхности в n-мерном пространстве (евклидовом или римановом), в частности, характеристику двумерной поверхности в трёхмерном пространстве.

Площадь плоских фигур

Многие годы площадь считалась первичным понятием, не требующим определения. Основной задачей математиков являлось вычисление площади, при этом были известны основные свойства площади. В Древнем Египте использовались точные правила вычисления площади прямоугольников, прямоугольных треугольников и трапеций.

Метод разложения, основанный на том, что две равносоставленные фигуры равновелики, позволял также вычислить площади параллелограммов и любых многоугольников.

Формулы вычисления площади обычно не доказывались, но демонстрировались с наглядными рисунками.

Болтянский

http://kvant.mccme.ru/1977/05/o_ponyatiyah_ploshchadi_i_obem.htm

Болтянский В. О понятиях площади и объема.  Квант  »  1977 год   »   номер 5

Итак, за единицу площади берется квадрат, сторона которого равна единице длины.

На рисунке фигура F содержит фигуру, составленную из 9 квадратов палетки, и содержится в фигуре, составленной из 29 квадратов; поэтому 9 <= S(F) <= 29. Можно сказать, что 9 — значение площади с недостатком, 29 — значение площади с избытком. Для более точной оценки можно использовать палетку, квадраты которой имеют стороны длиной 1/10 (так что в каждом квадрате прежней палетки содержится 100 квадратов новой палетки). Еще раз измельчая палетку, мы сможем еще точнее оценить S(F).
Описанный процесс используется не только для вычисления площади, но и для определения самого понятия площадь.

Пусть сторона квадрата палетки равна $1/10^k$. Неограниченно увеличивая k, мы можем рассмотреть пределы $\overline{S}(F)$ — нижняя площадь и $\underline{S}(F)$ — верхняя площадь. Если пределы совпадают то фигура F называется квадрируемой. Можно привести пример фигуры, у которой верхняя и нижняя площади не совпадают.

Квадратура круга

В античные времена проведение квадратуры понималось как построение с помощью циркуля и линейки квадрата, равновеликого данной фигуре (например, квадратура круга).

Для квадратуры прямоугольника со сторонами a и b надо построить квадрат со стороной $\sqrt{ab}$ (среднее геометрическое a и b). Для этого можно использовать следующий факт: если построить окружность на сумме этих двух отрезков как на диаметре, то высота BH, восставленная из точки их соединения до пересечения с окружностью, даст их среднее геометрическое.

Интерактивная модель

Квадратура круга, как окончательно было доказано в XIX веке, с помощью циркуля и линейки невозможна.

В средневековой Европе квадратура означала вычисление площади заданной области (например, квадратура арки циклоиды).

С появлением интегрального исчисления вычисление площади свелось к интегрированию. В связи с этим термин квадратура стал постепенно выходить из употребления, а в тех случаях, когда он использовался, стал синонимом термина интеграл. Небезынтересно, что Исаак Ньютон пытался вместо привычного для нас, лейбницевского обозначения интеграла, ввести свой символ — квадрат, который ставился перед интегрируемой функцией или содержал её внутри себя.

И сейчас термин квадратура иногда используется в быту в значении число квадратных единиц в площади данной фигуры, например, говорят «квадратура помещения 100 м²».

Как определить площадь жилого дома?

Чтобы определить площадь жилого дома, нужно произвести измерения всех помещений внутри дома и сложить их площади.

Для начала нужно определить количество этажей в доме и произвести измерения каждой комнаты на каждом этаже. Для измерения площади комнаты нужно измерить длину и ширину стен и умножить их друг на друга. Если в комнате есть выступы или ниши, то их площадь также необходимо учесть.

После измерения всех комнат на каждом этаже, нужно сложить их площади, чтобы получить общую площадь жилого помещения.

Нужно также учитывать общую площадь, занимаемую коридорами, ванными комнатами и туалетами. Эти помещения не являются жилыми, но входят в общую площадь дома.

Также необходимо учитывать площадь кухни, балкона, лоджии, веранды или террасы, если они есть в доме.

Если необходимо определить площадь жилого дома снаружи, то нужно измерить длину и ширину фасада дома и умножить их друг на друга. Это даст площадь одного этажа, которую нужно умножить на количество этажей в доме.

Также можно обратиться за помощью к специалистам, которые могут провести профессиональное измерение и определить площадь жилого дома.