Калькулятор площади квадрата онлайн — расчёт площади квадрата со стороной 3 метра

С использованием данного онлайн калькулятора возможно определить площадь квадрата. Чтобы вычислить площадь квадрата, введите известные параметры в соответствующее поле и нажмите кнопку «Вычислить». Более подробные пояснения и примеры расчетов представлены ниже.

Площадь квадрата. Определение

Определение 1. Площадь квадрата − это величина той части плоскости, которую занимает квадрат.

Единицы измерения площади квадрата

За единицу измерения площадей применяют квадрат, сторона которого равна единице измерения отрезков. В качестве единицы измерения площадей принимают квадраты со сторонами 1мм, 1см, 1дм, 1м и т.д (Рис.1). Такие квадраты назыают квадратным миллиметром, квадратным сантиметром, квадратным дециметром, квадратным метром и т.д., соответственно. Обозначаются они мм2, см2, дм2, м2 и т.д., соответственно.

Если выбрана единица измерения, то площадь измеряемого объекта (квадрата, треугольника, прямоугольника, многоугольника и т.д.)определяется положительным числом, которая определяет сколько раз единица измерения и ее части укладываются в данном объекте.

Для измерения отдельных плоских фигур используются специальные формулы. В данной статье мы выведем формулу для вычисления площади квадрата.

Площадь квадрата. Доказательство

Теорема 1. Площадь S квадрата со стороной a равна .

Доказательство. Пусть n целое неотрицательное число и пусть . Рассмотрим квадрат со стороной 1 (Рис.2). Разделим этот квадрат по ветрикали и по горизонлали на n равных частей. Получим маленьких квадратов состоронами . Поскольку площадь большого квадрата равна 1 (так как является единицей измерения), то очевидно, что площадь маленького квадрата равна:

а поскольку , то имеем:

Пусть теперь a является конечной десятичной дробью, содержащую n знаков после запятой. (Если n=0, то a будет целым числом). Тогда a можно представить в виде обыкновенной дроби, умножив и делив на :

откуда

где m − целое число.

Возьмем квадрат со стороной a и разделим его по горизонлали и вертикали на m ровных частей. Получим m2 маленьких квадратов (Рис.3).

Тогда, учитывая (2), сторона каждого квадрата равна:

По формуле (1) площадь маленького квадрата равна:

Следовательно, площадь квадрата со стороной a равна:

Пусть, далее, число a представляет собой бесконечную десятичную дробь. Рассмотрим число an которая получается из a отбрасыванием всех десятичных знаков после запятой, начиная с (n+1)-го. Поскольку a отличается от an не более, чем на , то имеем:

откуда

Из неравенства (4) следует, что площадь S квадрата со стороной a заключена между площадью квадрата со стороной an и площадью квадрата со стороной (Рис.4), т.е.

При неограниченном увеличении числа n, число будет становиться сколь угодно малым и, следовательно, число будет сколь угодно мало отличаться от . Тогда из неравенства (5) следует, что число S будет мало отличаться от числа . Следовательно они равны, т.е. .

Площадь квадрата по стороне

Из вышеизложенного доказательства получили, что площадь квадрата равна:

где \( \small a \) сторона квадрата.

Пример 1. Сторона квадрата равна . Найти площадь квадрата.

Решение. Для нахождения плошади квадрата воспользуемся формулой (6). Подставляя в (6), получим:

Ответ:

Площадь квадрата по диагонали

Пусть известна диагональ \( \small d \) квадрата (Рис.5). Найдем площадь квадрата.

Для нахождения плошади квадрата, найдем сначала сторону \( \small a \) квадрата. Для этого воспользуемся теоремой Пифагора:

Подставляя (7) в (6), получим:

то есть площадь квадрата по диагонали вычисляется из следующей формулы:

Пример 2. Диагональ квадрата равна . Найти площадь квадрата.

Решение. Для нахождения плошади квадрата воспользуемся формулой (8). Подставляя в (8), получим:

Ответ:

Площадь квадрата по радиусу вписанной окружности

Пусть известен \( \small r \) радиус окружности вписанной в квадрат (Рис.6). Найдем площадь квадрата.

Для нахождения плошади квадрата, найдем сначала сторону \( \small a \) квадрата. Нетрудно заметить, что радиус \( \small r \) равна половине стороны \( \small a \) квадрата, т.е.

Подставляя (9) в (6), получим:

или

Пример 3. Радиус вписанной в квадрат окружности равен . Найти площадь квадрата.

Решение. Для нахождения плошади квадрата воспользуемся формулой (10). Подставляя в (10), получим:

Ответ:

Площадь квадрата по радиусу описанной окружности

Пусть известен \( \small R \) радиус окружности описанной около квадрата (Рис.7). Найдем площадь квадрата.

Для нахождения плошади квадрата, найдем сначала сторону \( \small a \) квадрата. Восрользуемся теоремой Пифагора:

Подставляя (11) в (6), получим:

Пример 4. Радиус описанной окружности равен . Найти площадь квадрата.

Решение. Для нахождения площади квадрата воспользуемся формулой (12). Подставляя в (12), получим:

Ответ:

Площадь квадрата по периметру

Пусть известен периметр \( \small P \) квадрата. Найдем площадь квадрата. По периметру можно найти сторону квадрата:

Подставляя (13) в (6), получим:

то есть площадь квадрата через периметр равна:

Пример 5. Периметр квадрата равен . Найти площадь квадрата.

Решение. Для нахождения площади квадрата воспользуемся формулой (14). Подставляя в (14), получим:

Ответ:

Смотрите также:

• Квадрат. Онлайн калькулятор

Как найти длину стороны квадрата через площадь?

Длина стороны квадрата может быть найдена через его площадь, используя формулу: сторона = sqrt(площадь), где sqrt — квадратный корень.

Например, если площадь квадрата равна 16 кв. единиц, то длина стороны равна sqrt(16) = 4 единицы.